Mathematical Physics 3rd Year – অনার্স ৩য় বর্ষঃ গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান

https://www.youtube.com/@mathanticsbyne6605/videos

# প্রশ্নঃ০১ * কচির সমীকরণ গুলো প্রতিপাদন কর এবং দেখাও যে, সমীকরণগুলো ল্যাপ্লাস এর সমীকরণ মেনে চলে। //

* একটি অপেক্ষক/ফাংশন বিশ্লেষিক/অ্যানালাইটিক হওয়ার প্রয়োজনীয় শর্তাবলী প্রতিপাদন কর।

সমাধানঃ

Full Tutorial video link: https://youtu.be/PHAFPjOPU60

উপপাদ্যঃ  f(x) = u + iv ফাংশনটি R অঞ্চলে সকল বিন্দুতে বিশ্লেষিক বা অ্যানালাইটিক হওয়ার পর্যাপ্ত শর্ত-

১) \[ \frac{\delta u}{\delta x} = \frac{\delta v}{\delta y} \] এবং

\[ \frac{\delta u}{\delta y} = – \frac{\delta v}{\delta x} \]

এখানে সমীকরণ দুটিকে কচি-রিম্যান সমীকরণ বলা হয়।

প্রমাণ:

ধরি, f(z) এককমান বিশিষ্ট একটি অপেক্ষক যার R অঞ্জলে প্রতিটি বিন্দুতে  \[ \frac{\delta u}{\delta x}, \frac{\delta v}{\delta y}, \frac{\delta u}{\delta y}, \frac{\delta v}{\delta x} \] এদের অস্তিত্ব বিদ্যমান।

টেলরের উপপাদ্য অনুসারে,

\[ f(z + \Delta z) = u(x+ \Delta x, y+\Delta y) + iv(x+\Delta x, y+\Delta y) \]

\[                       = u(x,y) + ( \frac{\delta u}{\delta x}\Delta x + \frac{\delta u}{\delta y}\Delta y) + …………… i[v (x,y) + ( \frac{\delta v}{\delta x}\Delta x + \frac{\delta v}{\delta y}\Delta y) ……………  \]

\[                      = u(x,y) + iv (x,y) + ( \frac{\delta u}{\delta x}\Delta x + i \frac{\delta v}{\delta x}\Delta x ) + ( \frac{\delta u}{\delta y}\Delta y) + i \frac{\delta v}{\delta y}\Delta y) + …………… \]

\[                      = f(z) + ( \frac{\delta u}{\delta x} + i \frac{\delta v}{\delta x} ) \Delta x + ( \frac{\delta u}{\delta y}\Delta y) + i \frac{\delta v}{\delta y} ) \Delta y + …………… \]

[ উপঘাতসমূহ বর্জন করে]

\[ f(z + \Delta z) – f(z) = ( \frac{\delta u}{\delta x} + i \frac{\delta v}{\delta x} ) \Delta x + ( \frac{\delta u}{\delta y}\Delta y) + i \frac{\delta v}{\delta y} ) \Delta y \]

…………………………(1)

আমরা জানি কচি-রিম্যান সমীকরণ,

\[ \frac{\delta u}{\delta x} = \frac{\delta v}{\delta y} \]

এবং \[ \frac{\delta u}{\delta y} = – \frac{\delta v}{\delta x} \]

সমীকরণ (1) নং এ 𝛿u/𝛿y এর স্থলে 𝛿u/𝛿x এবং 𝛿u/𝛿y এর স্থলে – 𝛿u/𝛿x বসাই পাই,

\[ f(z + \Delta z) – f(z) = ( \frac{\delta u}{\delta x} + i \frac{\delta v}{\delta x} ) \Delta x + ( \frac{\delta u}{\delta v}\Delta x) + i \frac{\delta u}{\delta x} ) \Delta y \]

=

প্রথম অধ্যায়

কচির অবশেষ উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো (Cauchy’s residue theorem)

facebook.com/groups/3272873422943855/posts/3308782092686321/

১৬ নং প্রশ্ন উত্তর

gaমা ফাংশন ও ভিটা ফাংশন এর মধ্যে সম্পর্ক

[latexpage] code math formula

At first, we sample $f(x)$ in the $N$ ($N$ is odd) equidistant points around $x^*$:
\[
f_k = f(x_k),\: x_k = x^*+kh,\: k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2}
\]
where $h$ is some step.
Then we interpolate points $\{(x_k,f_k)\}$ by polynomial
\begin{equation} \label{eq:poly}
P_{N-1}(x)=\sum_{j=0}^{N-1}{a_jx^j}
\end{equation}
Its coefficients $\{a_j\}$ are found as a solution of system of linear equations:
\begin{equation} \label{eq:sys}
\left\{ P_{N-1}(x_k) = f_k\right\},\quad k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2}
\end{equation}
Here are references to existing equations: (\ref{eq:poly}), (\ref{eq:sys}).
Here is reference to non-existing equation (\ref{eq:unknown}).

https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols

\plusminus
\times
\alpha
\beta
\gamma
\delta

\nabla
\Alpha
\Beta
\Gamma
\Delta
\summation
\prod
\int
\sqrt
\nthroot
\lt
\gt
\le
\ge
\approx
\doteq
\neq
\nless
\ngtr
\intersection
\union
\subset
\superset
\notsubset
\nosuperset
\subseteq
\isin
\contains
\notcontains
\Complex
\Hamiltonian
\Imaginary
\Naturals
\Primes
\Rationals
\Reals

1 = I, 2 = II, 3 = III, 4 = IV, 5 = V, 6 = VI, 7 = VII, 8 = VIII, 9 = IX, 10 = X, 11 = XI, 12 = XII, 13 = XIII, 14 = XIV, 15 = XV, 16 = XVI, 17 = XVII, 18 = XVIII, 19 = XIX, 20 = XX,